נהר מתקבארי מתחיל את זרימתו במזרח תורכיה, משם הוא זורם אל גיאורגיה, דרך אזרבייג'אן. שם מתחבר אליו נהר אראס (Aras) ושניהם יחד נשפכים אל הים הכספי. אורכו הכללי הוא 1,364 ק"מ. השם קורה נובע משם המלך הפרסי כורש ואומץ על ידי הרוסים והאירופאים. שמו הגיאורגי מתקבארי ופירושו "הזורם לאיטו". נהר זה הוא ליבה של טביליסי, וזורם לכל אורכה. המסורת מספרת שכל מי שרוחץ במימיו ושותה מהם, יהיה עורו חלק ונקי. לא שההצעה הזאת תקפה גם לימי הזיהום הנוכחי. זהו נהר רחב ומספר רב של גשרים הבנויים בסגנון אדריכלי ישן, בעיקר סובייטי, מחברים בין גדותיו. העיר העתיקה ורוב העיר החדשה ממוקמות בעברו הדרומי של הנהר. מול העיר העתיקה, מעברו הצפוני של הנהר בנוי רובע אבלבארי (Avlabari), היושב על צוק דרמטי הניצב על הנהר. בנקודה זו נמתח הגשר הראשון והעתיק ביותר של טביליסי. פעמיים השתמשו כובשים זרים בגשר (הערבים במאה ה-13 והפרסים במאה ה-16) כדי לאלץ את תושבי טביליסי להתאסלם, אבל רובם העדיפו להשליך עצמם מן הגשר לנהר.